从有理数谈起

李振强 · 发表于 2022-2-14 07:08:57

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有理数起源于测量过程，比如卷尺就是有理数的一个具体直观的测量工具。把一个单位分成n等分，每一等分用符号1/n表示，如果被测的量恰好包含m个1/n，它的度量就用符号m/n(m和n都是自然数)表示，当符号m/n从测量过程中脱离出来，被看作是一种纯粹的数，符号m/n称为有理数。从数学内部的需要和推广来说，有理数扩充了除法，也扩充了数域。
√2，√3，√5，圆周率π，欧拉数e,黄金比例φ等等都是无理数，无理数无法用分数形式表示，无理数表示与单位长度不可通约的线段的长度，发现无理数使我们认识到，在数轴上有理点全体虽然是处处稠密的，但不能覆盖整个数轴。
用反证法发现√2是无理数是一个经典的数学推理，发现无理数对于爱思考的人来讲，无论从数学角度，还是从逻辑(严格的推理)和哲学的角度都具有令人激动的魅力。
有理数是循环小数，无理数是非循环小数。
在数轴上，一个无理点完全由长度趋于零的有理端点区间套所描述，无理点的所有数学性质可以表示为有理端点区间套的性质。
两点确定一条直线，不在同一条直线上的三点确定一个平面，时间一维加上空间三维确定一个四维时空等等，数学对象之所以存在，只在于它们的数学性质以及它们之间的相互关系，把握住了相互关系就是把握住了存在的本质。
数学的基本概念和关系都是从活生生的实际中抽象出来的，虽然理论一旦产生就获得了自身的发展，但是丰富的充满新鲜血液的实际才永远是理论发展的动力和源泉。推而广之，任何社会科学，包括生命科学都是一样。
人类的历史就是团结奋斗，自强不息，经历苦难，英勇斗争的历史，作为生命核心和本质的五脏机能由此生成，由此进化。五脏机能的进化还是走的这条道路:团结奋斗，自强不息，不畏艰辛，知难而进，永于担当，克服一切，修身践行，使五脏端正坚固。团结奋斗，自强不息不仅仅是政治理念，不仅仅是人生信念，从根本上讲，团结奋斗，自强不息蕴含着深奥的生命科学原理，团结奋斗，自强不息是我们进一步的出发点，坚实的基础，行动的指导和动力。伦理完备，真理不坠。
扯得太远了，让我们返回来，返回到一个最基本的公式，伟大的欧拉所发现的欧拉公式:e^iπ+1=0.
欧拉公式把数学里最基本的，最奇妙的五种元素(自然对数的底e，圆周率π，纯虚数的单位i，0，实数里自然数的单位1。)有机地构建和结合在一起，欧拉公式能够激发起任何与数学有缘的人的无比强烈的好奇，这就是欧拉公式的迷人的魅力。
我不知道完美的欧拉公式是否可以揭示出宇宙创始的原相，但我可以确信的是，在越是抽象的领域，所反映的越普遍，越深刻，越有力，这就是抽象思维(或者说理论思维)的力量。