闲侃：为什么空间是三维的

紫荆棘鸟

注：这是以前在海外某论坛发的一个闲侃帖，我想有些读者可能会有所兴趣，这里贴来供大家参考。反正我不觉得这很难懂，看明白个大概并不需要特别的背景知识。



这几天码了两个闲侃帖，尽管没有一个公式符号，但是内容都比较“物理”，所以留给诸位物理学家和蒙古物理学家们海阔天空的余地就不大。光从论坛的回帖看，靠谱的评论几乎是没有，倒是博克这一块能见到几个闪光点，呵呵。不过俺注意到了，就回帖的内容看，最受广大物理学家和蒙古物理学家们关注的话题之一就是空间和时间。相比之下，时间更难懂，所以这里我们先谈谈空间。尽管若问“什么是空间”、“空间是如何来的”这样的问题，大家的回答会五花八门，但是我想大部分人都会觉得“空间”这个概念会比“时间”这个概念要简单些，对不对。这里俺起草个不那么“物理”的话题：为啥空间是三维的。这样的话题，和前面几个闲侃相比，肯定比较“哲学化”一些，所以留给大家胡掰的余地就大很多 (这里俺们先不谈什么是空间这样看起来更模糊、更哲学甚至更文学更艺术的话题)。

为啥空间是三维的？算是这样一个看上去比较具体的问题，science/physics 里也没有解答，至少没有公认的解答。须知咱们的数学和物理学就描述形式而言，并没有要求空间必须是三维，而是可以任意维的 (其实无论是经典物理学还是量子力学，拉格朗日/哈密顿量还不止容纳几维空间这样的宏观物理量，而且还能容纳广义坐标以及内秉物理量等多得多的自由度，例如电荷、自旋、色荷等)，但为啥空间偏偏是三维而不是别的维数呢？你可以说出很多五花八门的解释，例如我们人类智慧有限、或者观测手段有限，感知不到、观测不到四维空间啦，或者我们这个宇宙就是三维空间、但是别的宇宙是多维空间 (例如四维、九维甚至二维) 啦，甚至你还可以和耶和华、佛学扯上联系。这些解释，即使对，总是给人遥远而不得要领的感觉。

有没有比较令人信服一些的解释呢？有。这里我们介绍两个。

1) 超弦理论提供的解释。关于超弦理论，俺不敢胡掰什么，因为俺只有科普意义上的了解。众所周知，最基本的超弦理论的空间是九维的 (加上时间一维，共十维时空)。基于超弦理论的 M-理论要求空间的维数更多，例如最常见的 11 维、以及 26 维时空。但是无论怎么样，在超对称最终破缺后，所有额外的空间维数都必须坍缩到普朗克尺度 (大约是 10 的负 33 次方厘米。普朗克尺度相对电子的经典直径，比一颗尘埃相对於太阳，可小多了)，只剩下三维。这是因为，物理是 science，必须和咱们的世界合拍。

有的同学可能很快就会反问：你 (其实是那些研究超弦的数 学家和物理学家) 这不等于啥也没说么？为啥大爆炸开始时你的时空是十维或者更高的维度？就算暂且承认十维有理，那为啥超对称破缺后空间不能坍缩到只剩下四维、而只能是三维？呵呵，其实我也觉得超弦理论这个解释实际上没啥说服力。

2) 伯特兰定理提供的解释
有没有说服力更强的解释？有！这就是基于伯特兰定理提供的解释。这是我所知的说服力最强的解释。而且这个解释很好理解，不需要多么复杂的数学或者物理背景，尽管伯特兰定理的证明并非那么一挥而就。

伯特兰定理 (Betrand Theorem) 如下：在经典力学里，某种运动要形成稳定的闭合轨道，该运动只有如下两种可能：
     a) 位势和半径成反比的向心势；或者说，作用力是向心力而且大小和距离的平方成反比 (最著名的例子自然就是万有引力、正电荷和负电荷之间的库仑力)；
     b) 位势和距离的平方成正比的简谐振子势；例如遵循虎克定律的弹簧。

好，咱们以约束天体运动的主要作用力：万有引力为例来说明空间为啥必须是三维。假设是四维（或者别的维度），那么万有引力的强度会和半径的三次方成反比 (而三维空间万有引力的强度和半径的平方成反比，有兴趣的读者可以参考微积分中的斯托克斯定理)，伯特兰定理告诉你，这样的天体运动 (例如地球绕太阳转动) 不能形成闭合的轨道，不能形成闭合轨道的直接后果就是地球上没有生命赖以形成的稳定环境，于是生命不会出现，自然就更谈不上人类这样的高级生命了。介个就是所谓的“人择原理”。

所以，尽管我们不能肯定所有的宇宙必须是三维的，但是我们这个宇宙必须是三维的，否则我们就不会存在，自己就谈不上在这里讨论咱们这个宇宙为啥是三维了。

用伯特兰定理解释我们这个宇宙为啥是三维的，很有说服力，是不是？我觉得是的。

3）另一视角？
说到这里，本来应该打住了。现在突发奇想，俺也来忽悠一个可能的解释看看。昨天俺说到了著名的诺特定理。这个定理大致的意思是，物理学上基于哈密顿体系的表述中，每一种对称性对应于一个守恒流。用大家熟悉的例子来说，咱们的经典物理存在七个宏观意义上的守恒：

a) 能量守恒 (对应时间平移对称)，一个守恒量，因为你只有一维时间；
b) 动量守恒 (对应空间平移对称)，三个守恒量，因为你有三维空间；
c) 角动量守恒 (对应空间转动对称)，三个守恒量，因为你有三个欧拉角。

略去 a) 不谈 (因为和我们的话题没关系)，仔细研究 b) & c)，你发现了什么？对三维空间，你有三个自由度的平移，也有三个自由度的转动，它们刚好相等，而对非三维空间，这个结论是不成立的，例如对二维空间，你有两个自由度的平移，但是很明显只有一个自由度的转动；对四维空间，你有四个自由度的平移，却有六个自由度的转动 (用代数的语言说，就是幺正转动群 SO(n) 有  n(n-1)/2 个生成元)。这可能不是巧合，可能有某种原因要求咱们这个空间的平移的自由度等于转动的自由度 (从而必须是三维)。当然，在想出这个可能存在的原因前，俺这只能算海阔天空般的忽悠了。

紫荆棘鸟

主贴之 2），也就是关于伯特兰定理的那样部分，其实不难理解。其余两部分说服力不强，而且要看懂的话不容易。但第二部分好理解，而且也容易理解。

这里补充一点，记得上次在菩萨小宝贝的帖子里说了几句定律/定理的区别，这里继续说几句。

注意伯特兰定理是定理，所以它是个经过演绎推理证明的数学结论，而不是像牛顿运动定律那样的定律。定律是归纳推理的结论，是不能通过演绎推理去证明的（谁证明了牛顿定律是正确的吗？没有，定律只能证伪，也就是证明是错的。

所以你可以略过伯特兰定理的证明细节不谈，只需承认其结论，就可以非常有力的理解为啥空间是三维了：这是因为，如果不是三维而是别的维数，地球围绕太阳的运行不会形成闭合稳定的轨道，因此，地球上就不会有生命（产生生命要求太苛刻了），更谈不上有人类。正以为我们存在，所以空间就应该是三维的。

此即所谓的人择原理。

当然这不是数学定理，也不是物理定律，只是一种解释，但这个解释是非常有说服力的。

白水

看文章，长知识。

云上云上

看您的帖子，总是能长知识与见识。

紫荆棘鸟

白水 发表于 2021-6-19 04:03
看文章，长知识。

呵呵，算某种意义的科普吧。

紫荆棘鸟

云上云上 发表于 2021-6-19 20:04
看您的帖子，总是能长知识与见识。

转几个文友的留言：

安博：很有意思，我想三维空间是测量的结果，不一定能够被证明。博文中的两种证明都可以看做是其理论的自恰性解释，和真正的证明有点差距。
很有意思的系列，现在还能想起这些东西，佩服，赞叹！

嘎拉哈：到目前为止，人类所有有意义的观测的结果都说明这个世界是三维的。而所有不同于三维的世界的描述，要么是纯数学，要么是科幻。没有一个例外。即便是爱因斯坦的四维时空，也不过是一个数学描述而已。这是因为，三个空间维度在表达上是那么完美和对称。与之相比，那个时间维度就却显得很不自然。因此，所谓四思维时空，只是一个名词而已。当然，数学本身（比如欧氏空间）可以提供任意维度的完美空间。但是一旦涉及到物理实证，一切都必须回到三维才行。因此俺认为，物理学上的平行宇宙说，超炫理论等东西，永远都只能停留在假设阶段，虽然数学上是响当当的理论。
这个勃兰特定理俺不知道。但是确实是挺有意思的。具有平方反比的位势场的轨道稳定性，不仅已经被几亿年的时间所证实了，而且稳定的惊人！ 作为大脑练习，可以设想 R^(-2.001) 和 R^(1.999)会如何？ 俺的猜测是，前一种情况，椭圆轨道可能会慢慢变大，最后终于有一天永远不回来。第二种情况可能是相反，迟早落到地上。对于平方成正比的位势，可以想像一个抛物面形状的大锅，里面有一个小球，就可以稳定地旋转。

gmuoruo：原來專業物理學家對空間，時間這些最基本的概念也愁眉苦臉，百思不解，難怪哲學家，蒙古物理學家也要插一腳，發表見解。
本人見解：
空間的三維純為思維的構造。空間意指 extension，思維需要確定空間某點，一維，二維不夠，四維以上沒必要，三維是最間潔的方法。
宇宙自然有 extension 的特性，對人類爭論它有几維毫無興趣。
如此看來，什麼九維啦，是專業物理學家給自己的數學遊戲搞糊塗了，思維不清的結果。

pia：好文！行云流水。负作用是博主的诗也念了，工整中有美。

"为什么空间是三维的"，以侃应侃胡说两句：
--偷懒的流派看，问题是白菜型。空间存在，定义它至少要用个三维，也可以n维。换言空间就在哪里，定义定理什么的是第二性。
--超弦的意思好像是最后坍缩之后还是个空间，等于啥也没说。牛点的猜想是：坍缩之后，空间消失了。
--伯特兰好像是证明出空间必须三维。证明了白菜还是白菜，让人想起拉着自己头发向上跳的事情。
--当然没有对前辈不敬重的意思，只是周末一乐而已。

云上云上

紫荆棘鸟 发表于 2021-6-19 20:57
转几个文友的留言：

安博：很有意思，我想三维空间是测量的结果，不一定能够被证明。博文中的两种证明 ...

这些留言也很有趣，读着也能增长知识，感谢您的分享。

yxq一叶扁舟

又捡知识，多谢了！

紫荆棘鸟

yxq一叶扁舟 发表于 2021-6-22 08:14
又捡知识，多谢了！

紫荆棘鸟

云上云上 发表于 2021-6-21 15:47
这些留言也很有趣，读着也能增长知识，感谢您的分享。